EJERCICIO 1
La viga tiene soportes de pasador y de rodillo, y está sometida a una fuerza de 2 kN. ¿Qué valor tienen las reacciones en los soportes?
Dibujo del diagrama de cuerpo libre Aislamos la viga y mostramos las cargas y reacciones que pueden generar los soportes de pasador y de rodillo. Hay tres reacciones desconocidas: dos componentes de fuerza, A x y Ay, en el soporte de pasador y una fuerza B en el soporte de rodillo. Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Sumando los momentos respecto al punto A, las ecuaciones de equilibrio son:
T,FX = A x — B sen 30° = 0,
V,Fy = Ay + B eos 30° — 2 = 0,
£A/(punlo/t) = (5)(fl eos 30°) - (3)(2) = 0.
Resolviendo estas ecuaciones, las reacciones son A x = 0.69 kN, A y = 0.80 kN y B = 1.39 kN. La carga y las reacciones se muestran. Es una buena costumbre mostrar las respuestas de esta manera y verificar que se cumplan las ecuaciones:
£FX = 0.69 - 1.39 sen 30° = 0,
ZFy = 0.80 + 1.39 eos 30° - 2 = 0,
EA^(pu„to a) = (5X1.39 eos 30°) - (3)(2) = 0.
Dibujamos las flechas que indican las direcciones de las reacciones A x y Ay en las direcciones positivas de los ejes x y y, pero podríamos haberlas dibujado en cualquier dirección. dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la viga con la componente Ay apuntando hacia abajo. De este diagrama de cuerpo libre obtenemos las ecuaciones de equilibrio. Las soluciones son A x = 0.69 kN, A y = -0.80 kN y B = 1.39 kN. El valor negativo de A y indica que la fuerza vertical ejercida sobre la viga por el soportede pasador tiene la dirección opuesta a la de la flecha, es decir la fuerza de 0.80 kN es hacia arriba. Así, obtenemos de nuevo las reacciones mostradas
EJERCICIO 2:
el cuerpo está empotrado y sometido a dos fuerzas y un par. ¿Qué valor tienen las reacciones en el empotramiento?
SOLUCIÓN
Dibujar diagrama de cuerpo libre Aislamos el cuerpo de su soporte y mostramos las reacciones en el empotramiento. Hay tres reacciones desconocidas: dos componentes de fuerza A x y A y y un par MA (recuerde que podemos escoger arbitrariamente las direcciones de esas flechas). Descomponemos también la fuerza de 100 Ib en sus componentes.
Aplicar ecuaciones de equilibrio Sumando los momentos respecto al punto A , las ecuaciones de equilibrio son:
Al resolver esas ecuaciones obtenemos las reacciones A x = -86.6 Ib, A y =150.0 Ib y Ma = 73.2 Ib-pie.
Observe que el par de 300 lb-pie y el par MA generados por el empotramiento no aparecen en las dos primeras ecuaciones de equilibrio, ya que un par no ejerce una fuerza neta. Así mismo, como el momento debido a un par es el mismo respecto a cualquier punto, el momento respecto al punto A debido al par antihorario de 300 lb-pie es antihorario de 300 lb-pie.
EJERCICIO 3:
El automóvil de 2800 Ib de la figura 5.15 está en reposo. Determine las fuerzas normales ejercidas sobre los neumáticos frontales y posteriores por el suelo.
SOLUCIÓN:
Dibujar diagrama de cuerpo libre, aislamos el auto y mostramos su peso y las reacciones generadas por el suelo. Hay dos reacciones desconocidas: las fuerzas A y B ejercidas sobre los neumáticos frontales y posteriores. Aplicar ecuaciones de equilibrio Las fuerzas no tienen componente x. Sumando los momentos respecto al punto B, las ecuaciones de equilibrio son
T, Fy = A + B — 2800 = 0,
2 Ai(pun,o B) = (6) (2800) - 9 A = 0.
Resolviendo, las reacciones son: A = 1866.7 Ib y B = 933.3 Ib.
Este ejemplo no cae estrictamente dentro de nuestra definición de sistema bidimensional de fuerzas y momentos, porque las fuerzas que actúan sobre el automóvil no son coplanares. Veamos por qué se pueden analizar problemas de esta clase como si fueran bidimensionales. mostramos una vista oblicua del diagrama de cuerpo libre del automóvil. En esta vista se pueden ver las fuerzas que actúan sobre los neumáticos individuales. La fuerza normal total sobre los neumáticos frontales es A l + A R = / l ,y l a fuerza normal total sobre los neumáticos posteriores es BL + flR = B. La suma de las fuerzas en la dirección y es:
Como la suma de los momentos respecto a cualquier línea debido a las fuerzas y pares que actúan sobre un cuerpo en equilibrio es cero, la suma de los momentos respecto al eje z debido a las fuerzas que actúan sobre el auto es cero:
EA/(ejcz) = (9)04R + A ¿ - (6)(2800) = 9A - (6X2800) = 0.
EJERCICIO 4:
En la figura 5.16, la estructura A B soporta una masa suspendida de 2 Mg (megagramos). La estructura está unida a un deslizador en una ranura vertical en A y tiene un soporte de pasador en B. ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B?
SOLUCIÓN:
Dibujar diagrama de cuerpo libre Aislamos la estructura y la masa de los soportes y mostramos las reacciones en éstos y la fuerza ejercida por el peso de la masa de 2000 kg. La ranura en A puede ejercer sólo una fuerza horizontal sobre el deslizador.
Dibujar diagrama de cuerpo libre Aislamos la estructura y la masa de los soportes y mostramos las reacciones en éstos y la fuerza ejercida por el peso de la masa de 2000 kg. La ranura en A puede ejercer sólo una fuerza horizontal sobre el deslizador.
Aplicar ecuaciones de equilibrio Observe que si sumamos los momentos respecto al punto B, obtenemos una ecuación que contiene sólo una reacción desconocida, es decir, la fuerza A . Las ecuaciones de equilibrio son:
EF, = A + Bx = 0,
I.F y = By - (2000) (9.81) = 0,
EM(punt0 a, = A(3) + (2000)(9.81)(2) = 0.
Las reacciones son: A = —13.1 kN, Bx = 13.1 kN y By = 19.6 kN.
A menudo se pueden simplificar las ecuaciones de equilibrio escogiendo con cuidado el punto respecto al cual se toman los momentos. Por ejemplo, cuando se escoge un punto en el que las líneas de acción de fuerzas desconocidas se cortan esas fuerzas no aparecen en la ecuación de momento.
CUERPOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
EJERCICIO 5:
La viga tiene dos soportes de pasador y está cargada con una fuerza de 2 kN. (a) Demuestre que la viga es estáticamente indeterminada. (b) Determine tantas reacciones como le sea posible.
La viga es estáticamente indeterminada si su diagrama de cuerpo libre tiene más reacciones desconocidas que el número de ecuaciones independientes de equilibrio que podemos obtener. Sin embargo, aun en este caso podemos resolver las ecuaciones de equilibrio para algunas de las reacciones.
SOLUCIÓN:
Dibujo del diagrama de cuerpo libre, dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la viga. Hay cuatro reacciones desconocidas: A x, Ay, Bx y By, y sólo podemos establecer tres ecuaciones de equilibrio independientes. Por consiguiente, la viga es estáticamente indeterminada. Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Sumando los momentos respecto al punto A , las ecuaciones de equilibrio son:
Este ejemplo nos da una idea de por qué las reacciones sobre cuerpos con restricciones redundantes no se pueden determinar únicamente con las ecuaciones de equilibrio. Los dos soportes de pasador pueden ejercer reacciones horizontales sobre la viga aun en ausencia de cargas (Fig. b), y esas reacciones satisfacen las ecuaciones de equilibrio para cualquier valor de T (EFX = —T + T = 0).
EJERCICIO 6:
Indique si las barras en L están adecuadamente soportadas. Si una barra está adecuadamente soportada, determine las reacciones en sus soportes.
SOLUCIÓN:
Dibujamos los diagramas de cuerpo libre de las barras.
Barra (a) Las líneas de acción de las reacciones en los dos soportes de rodillo se intersecan en P, y la fuerza F ejerce un momento respecto a P. Esta barra no está adecuadamente soportada.
Barra (b) Las líneas de acción de las reacciones se intersecan en A y la fuerza F ejerce un momento respecto a A. Esta barra tampoco está bien soportada.
Barra (C) Las tres fuerzas de soporte no son ni paralelas ni concurrentes.Esta barra está propiamente soportada. Las ecuaciones de equilibrio son:
£ F , = A, - B = 0 ,
ZFy = Ay - F = 0,
£AÍ(Punto A)= BL — FL = 0.
Resolviendo estas ecuaciones, las reacciones son A x = F, A y = F y B = F.
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